tag:blogger.com,1999:blog-85800010049156184002024-02-18T21:34:19.201-08:00Maths Otak'2Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/17788207855630201721noreply@blogger.comBlogger6125tag:blogger.com,1999:blog-8580001004915618400.post-75721957123510941182015-09-02T22:07:00.002-07:002015-09-03T08:41:37.980-07:00RécurrenceCommençons par une vidéo<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<iframe allowfullscreen="" class="YOUTUBE-iframe-video" data-thumbnail-src="https://i.ytimg.com/vi/kdeMuC_OV3I/0.jpg" frameborder="0" height="266" src="https://www.youtube.com/embed/kdeMuC_OV3I?feature=player_embedded" width="320"></iframe></div>
<br />
<br />
<br />
<span style="font-size: 12pt;">Voici une des nombreuses vidéos de chutes
de dominos.</span><br />
<span style="font-size: 12pt;">Un seul mouvement permet de faire tomber un dominos et tous tombent. </span><br />
<br />
<span style="font-size: 12pt;">Comment savait-on que ces tous ces dominos allaient tomber ?</span><br />
<span style="font-size: 12pt;"><br /></span>
<br />
<div style="text-align: left;">
<span style="font-size: 12pt;">Numérotons les dominos dans l'ordre dans lequel ils tombent : 1,2,3,4,5,......</span> </div>
<div style="text-align: left;">
</div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-size: 12pt;">Si le domino 1 tombe, il fait tomber le domino 2.</span> </div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-size: 12pt;">Si le domino 2</span> <span style="font-size: 12pt;">tombe, il fait tomber le domino 3.</span> </div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-size: 12pt;">etc...</span> </div>
<div style="text-align: left;">
</div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-size: 12pt;">On peut continuer comme çà mais s'il y a 5 000 dominos, il me faudra 4 997 lignes de plus.</span> </div>
<ol>
<li><span style="font-size: 12pt;">Amorce : Le premier domino est tombé</span></li>
<li><span style="font-size: 12pt;">Hérédité : Les dominos sont placés de telle manière que la chute d'un domino entraîne la chute du domino suivant </span></li>
</ol>
<br />
<span style="font-size: 12pt;">Mathématiquement, il s'agit du théorème de récurrence : </span><br />
<br />
<span style="font-size: 12pt;"> </span><br />
<table border="1" style="width: 99%;"> <tbody>
<tr> <td><div style="text-align: left;">
<span style="font-size: 12pt;"><b>Principe de récurrence.</b></span> </div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-size: 12pt;">Étant données des propriétés P(1), P(2), P(3), ...........</span> </div>
<b><span style="font-size: 12pt;">Si</span></b> <br />
<ul>
<li> <span style="font-size: 12pt;">la propriété P(1) est vraie</span> </li>
<li> <span style="font-size: 12pt;">pour tout k, la propriété P(k) implique la propriété suivante P(k+1),</span> </li>
</ul>
<span style="font-size: 12pt;"><b>alors</b> la propriété P(n) sera vraie pour tous les n.</span> </td> </tr>
</tbody> </table>
<div style="text-align: left;">
</div>
<br />
<br />
<span style="font-size: 12pt;">Remarque : Le principe de récurrence est un théorème. Il nécessite une démonstration.</span> <br />
<br />
<span style="font-size: 12pt;">Je vais utiliser ce théorème pour montrer que tous les dominos devaient tomber.</span> <br />
<br />
<br />
<span style="font-size: 12pt;">Je note</span> <br />
<span style="font-size: 12pt;">P(1) : le domino 1 tombe</span> <br />
<span style="font-size: 12pt;">P(2) : le domino 2 tombe</span> <br />
<span style="font-size: 12pt;">....</span> <br />
<span style="font-size: 12pt;">P(n) : le domino n tombe</span> <br />
<br />
<span style="font-size: 12pt;">Chacune de ses propriété peut être vraie ou fausse.</span> <br />
<br />
<span style="font-size: 12pt;">En poussant le premier domino, on le fait tomber. <b>Donc P(1) (est vraie). </b></span> <br />
<br />
<span style="font-size: 12pt;">Remarque : je n'écrirai plus est vraie pour dire qu'une propriété est vraie mais simplement le nom de la propriété.</span> <br />
<br />
<span style="font-size: 12pt;">En
disposant dans l'ordre (un devant et un derrière), et assez proches
l'un de l'autre, on est certain que chaque domino numéroté k tombé entraînera celui qui le suit, le domino k+1. <b>Donc pour tout k, P(k) implique P(k+1)</b></span>.<br />
<br />
<span style="font-size: 12pt;">D'après le principe de récurrence, on en déduit que pour tout n : P(n). Autrement dit, tous les dominos tombent. </span> <br />
<br />
<br />
<br />
<span style="font-size: 12pt;"><br /></span>Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/17788207855630201721noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-8580001004915618400.post-351589412517034872014-10-29T10:23:00.000-07:002014-10-29T10:23:01.610-07:00Somme des carrésJ'ai eu trois solutions pour le problème précédent... Elles seront publiées prochainement.<br />
<br />
En prolongement de ce problème, pourriez-vous me donner le résultat de la somme des carrés :<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
1²+2²+3²+........+998²+999²+1000²</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/17788207855630201721noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8580001004915618400.post-24179663276875755622014-10-12T06:27:00.000-07:002014-10-12T06:27:03.904-07:00Somme des cases d'un carréLe carré ci-dessous est composé de 1000 colonnes et 1000 lignes. Il y a donc un million de nombres.<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjluMtfKT8YD3s-9XEwZHoA23zeYZ1UsTsOzB8gmybjJ8M4CeS3rYRRXcx7nUewAX-rCFnmTUzNFcQaPy-99WXoqTuftLF4oZLcXT5yITbqMZmWOuOMCx7tXJiJoyetDEXg51mUwj7t1fg/s1600/carr%C3%A91%C3%A01000.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjluMtfKT8YD3s-9XEwZHoA23zeYZ1UsTsOzB8gmybjJ8M4CeS3rYRRXcx7nUewAX-rCFnmTUzNFcQaPy-99WXoqTuftLF4oZLcXT5yITbqMZmWOuOMCx7tXJiJoyetDEXg51mUwj7t1fg/s1600/carr%C3%A91%C3%A01000.png" height="532" width="640" /></a></div>
<br />
<br />
Combien vaut leur somme ?Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/17788207855630201721noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-8580001004915618400.post-9849925601917479972014-09-27T18:01:00.005-07:002014-09-28T11:40:07.236-07:00Page sur les flocons de Von KochCette page reprend les différents billets de la précédente version de mon blog en ce qui concerne les flocons de Von Koch. Cela part des activités que j’avais proposées à mes élèves de collège (à partir de la cinquième) jusqu'aux calculs que l'on peut mener au lycée. II manque pour le moment les calculs de limites pouvant répondre à la question qui guide tout le billet : comment mesurer le flocon (périmètre et aire) ? Je pense compléter cette lacune par la suite :D.<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/fd/Von_Koch_curve.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/fd/Von_Koch_curve.gif" /></a></div>
<br />
<br />
Accédez à la page <a href="http://mathsotak2.blogspot.fr/p/flocon-de-von-koch.html">ici</a>Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/17788207855630201721noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-8580001004915618400.post-25122680824082981232014-09-27T08:24:00.002-07:002014-09-27T17:50:47.342-07:00Page Maths et Histoire des arts Je viens de terminer la récupération des <a href="http://mathsotak2.blogspot.fr/p/archives-1-mes-fiches-de-maths-et.html">fiches Maths et Histoire des arts</a> que j'avais faites en 2007 et publié en 2010 sur mon ancien blog (appelé alors MHAB, avant d'être rebaptisé Maths Otak' en 2013).<br />
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<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0a/The_Great_Wave_off_Kanagawa.jpg/800px-The_Great_Wave_off_Kanagawa.jpg" height="220" width="320" /> </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/17788207855630201721noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8580001004915618400.post-44142724063030799352014-09-27T05:19:00.001-07:002014-10-05T02:42:04.545-07:00Maths Otak'2J'ai un blog <a href="http://mhab.over-blog.com/" target="_blank">Maths Otak' sur overblog</a>. Je n'avais pas publié depuis quelques temps, et lorsque je suis allé y faire un tour avant-hier, j'ai remarqué qu'il y avait beaucoup de pubs. Beaucoup trop ! Il y avait un système sur overblog, où la publicité apparaissait au bout d'un certain temps de non publication d'article.<br />
Mais en fait, la politique d'overblog a changé... maintenant la publicité apparaît toujours, tout au moins dans les versions gratuites.<br />
<br />
J'ai donc décidé de migrer mon blog Maths Otak' (overblog) vers ce blog Maths Otak' 2 sur Blogger.<br />
<br />
Ainsi, je republierai mes anciens billets que je trouve intéressant sous forme de pages, en y intercalant des améliorations.<br />
<br />Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/17788207855630201721noreply@blogger.com0