Récurrence

Commençons par une vidéo

Voici une des nombreuses vidéos de chutes de dominos.
Un seul mouvement permet de faire tomber un dominos et tous tombent. 

Comment savait-on que ces tous ces dominos allaient tomber ?

Numérotons les dominos dans l'ordre dans lequel ils tombent : 1,2,3,4,5,......

 

Si le domino 1 tombe, il fait tomber le domino 2.

Si le domino 2 tombe, il fait tomber le domino 3.

etc...

 

On peut continuer comme çà mais s'il y a 5 000 dominos, il me faudra 4 997 lignes de plus.

1. Amorce : Le premier domino est tombé
2. Hérédité : Les dominos sont placés de telle manière que la chute d'un domino entraîne la chute du domino suivant 

Mathématiquement, il s'agit du théorème de récurrence : 

Principe de récurrence.   Étant données des propriétés P(1), P(2), P(3), ........... Si la propriété P(1) est vraie pour tout k, la propriété P(k) implique la propriété suivante P(k+1), alors la propriété P(n) sera vraie pour tous les n.

 

 
 
Remarque : Le principe de récurrence est un théorème. Il nécessite une démonstration.
 
Je vais utiliser ce théorème pour montrer que tous les dominos devaient tomber.
 

Je note
P(1) : le domino 1 tombe
P(2) : le domino 2 tombe
....
P(n) : le domino n tombe
 
Chacune de ses propriété peut être vraie ou fausse.
 
En poussant le premier domino, on le fait tomber. Donc P(1) (est vraie). 
 
Remarque : je n'écrirai plus est vraie pour dire qu'une propriété est vraie mais simplement le nom de la propriété.
 
En disposant dans l'ordre (un devant et un derrière), et assez proches l'un de l'autre, on est certain que chaque domino numéroté k tombé entraînera celui qui le suit, le domino k+1. Donc pour tout k, P(k) implique P(k+1).

D'après le principe de récurrence, on en déduit que pour tout n : P(n). Autrement dit, tous les dominos tombent. 

Somme des carrés

J'ai eu trois solutions pour le problème précédent... Elles seront publiées prochainement.

En prolongement de ce problème, pourriez-vous me donner le résultat de la somme des carrés :

1²+2²+3²+........+998²+999²+1000²

Somme des cases d'un carré

Le carré ci-dessous est composé de 1000 colonnes et 1000 lignes. Il y a donc un million de nombres.

Combien vaut leur somme ?

Page sur les flocons de Von Koch

Cette page reprend les différents billets de la précédente version de mon blog en ce qui concerne les flocons de Von Koch. Cela part des activités que j’avais proposées à mes élèves de collège (à partir de la cinquième) jusqu'aux calculs que l'on peut mener au lycée. II manque pour le moment les calculs de limites pouvant répondre à la question qui guide tout le billet : comment mesurer le flocon (périmètre et aire) ? Je pense compléter cette lacune par la suite :D.

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Page Maths et Histoire des arts

Je viens de terminer la récupération des fiches Maths et Histoire des arts que j'avais faites en 2007 et publié en 2010 sur mon ancien blog (appelé alors MHAB, avant d'être rebaptisé Maths Otak' en 2013).

Maths Otak'2

J'ai un blog Maths Otak' sur overblog. Je n'avais pas publié depuis quelques temps, et lorsque je suis allé y faire un tour avant-hier, j'ai remarqué qu'il y avait beaucoup de pubs. Beaucoup trop ! Il y avait un système sur overblog, où la publicité apparaissait au bout d'un certain temps de non publication d'article.
Mais en fait, la politique d'overblog a changé... maintenant la publicité apparaît toujours, tout au moins dans les versions gratuites.

J'ai donc décidé de migrer mon blog Maths Otak' (overblog) vers ce blog Maths Otak' 2 sur Blogger.

Ainsi, je republierai mes anciens billets que je trouve intéressant sous forme de pages, en y intercalant des améliorations.