Centre de gravité

Médianes

Définition. Dans un triangle, on appelle médiane une droite passant par un sommet et par le milieu du côté opposé à ce sommet.
 
Pour éviter toute confusion dans la suite, j’appellerai segment médian, un segment joignant un sommet au milieu du côté opposé.

Sur la figure ci-dessous, [AI] est un segment médian et (AI) est la médiane correspondante.
 

 

 
Nous allons démontrer avec les méthodes  classiques (de niveau collège) que les trois
médianes d’un triangle sont concourantes en un point appelé centre de gravité.

Au niveau lycée, avec les vecteurs, la démonstration est beaucoup.... plus rapide.
 

  Pour montrer que les trois droites passent par un même point, nous allons montrer que les points d'intersections de (AI) et (BJ), et de (AI) et (CG) sont confondus.
 

Pour cela, nous allons noter G le point d'intersection de (AI) et (BJ). Nous allons montrer que

AG=2/3 AI et que BG=2/3 BJ

Avec un raisonnement identique, c'est à dire juste en changeant les lettres, on obtient que si G' est le point d'intersection de (AI) et (CK), alors on a AG'=2/3 AI et CG'=2/3 CK. De la première égalité, on a prouve que G=G', soit que les médianes concourent et de la seconde que leur point d'intersection G se trouve au deux tiers des médianes en partant des sommets. 
 
 
Pour le lecteur non convaincu que ce qui sera démontré pour G le sera pour G', la preuve qui suit devrait l'en convaincre. En effet, on pourrait tout réécrire en remplaçant B par C, J par K et G par G'.
 
Pour montrer le fait encadré, commençons par montrer qu'une médiane partage l'aire en 2 de manière égale
 

Partage d'aire en deux

Propriété. Une médiane partage un triangle en deux triangles de même aire, la moitié de l’aire du triangle.
 
Démonstration. Les triangles ABI et ACI ont pour aires :
 

Comme IB=IC=AB/2, elles sont toutes deux la moitié de l'aire de ABC d'où le résultat.
 

Découpages du triangle

Notons 

 

La propriété précédente appliquée à la médiane (AI) puis à la médiane (BJ) nous permet d'obtenir les découpages d'aire comme sur les figures ci-dessous :

Avec (AI)

 

 

Avec (BJ)

De ces deux partages, on obtient que

 

Notons maintenant G le point d'intersection des médianes (AI) et (BJ). On peut aussi partager les triangles BGC et CGA en deux fois deux triangles d'aires égales comme ci-dessous : 

Or

 

On en déduit que 2a+a'=2a'+a d'où a=a'. Donc l'aire de GBC vaut 3a, la moitié de l'aire totale : 

 

Ainsi a vaut 1/3 de l'aire totale.

 

G est aux deux-tiers de la médiane et c'est fini !

On vient de prouver que l'aire de GBC vaut un tiers de celle de ABC. Déduisons-en que AG=2/3 AI et terminons le démonstration.

 

Les hauteurs des triangles GBC et ABC sont [GP] et [AH] (voir ci-dessous)

 

Or

 

D'où GP=1/3 AH ou encore GP/AH=1/3.

 

Comme [GP] et [HP] sont perpendiculaires à [BC], ces segments sont parallèles. Donc d'après le théorème connu sous le nom du théorème de Thalès :

On en déduit que IG=1/3 IA puis que AG=2/3 AI, ce que nous voulions montrer.

 

 

FIN DE LA DEMONSTRATION

 

 

 

Si l'on découpe un triangle dans un morceau de carton, et que l'on essaye de le faire tenir sur un doigt sur centre de gravité qu'il doit être posé.

 

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