Archive 2 : Flocon de Von Koch (du collège au lycée)

Construction du flocon 

Ce flocon de Von Koch avait été réalisé par mes élèves du collège Louis Pasteur de Nesles, en décembre 2008.

Si vous cherchez à en construire un vous-même, il faut d'abord fabriquer la courbe de Von Koch

Munissez-vous d'une feuille A4 :
 
1. Commencer par tracer un segment de 27 cm en bas de la feuille
 

 


2. Partager le segment en 3 parties égales. Puis construire un triangle équilatéral à partir du
segment central. Effacer ce segment central. 4 segments forment la courbe.
 

3. Répéter l’étape 2 sur chacun des 4 segments le long de la courbe.

 

4. Pour le moment nous avons construit la courbe de Von Koch de Niveau 3.  Nous avons 16 segments. En répétant l'étape 2 pour chacun des 16 segments nous avons la courbe de Von Koch de Niveau 4.
 



 

 
A la main cela devient de plus en plus long mais l'on pourrait continuer de la sorte pour aller jusqu'au niveau 5. Ce serait long et peu précis.... 



Ci-dessous, un flocon réalisé avec les mains par mes élèves de 5è du collège Rousseau Avion. On commence par la courbe,

puis on en assemble 3 pour former ledit flocon (3 élèves associés).

Et voilà le flocon

Périmètre du flocon

Voici les 4 premières étapes d'une courbe de Von Koch, ainsi que leur périmètres respectifs :
 

Appelons a le longueur du segment de départ.

Le segment de longueur a est partagé en 3 parties de longueur a/3. Il y en a 4 donc le périmètre ici est 4a/3.

De l'étape précédente chaque morceau de longueur  a/3 est partagé en 3, les segments ici sont donc de taille a/9. Il y en a 16, donc le périmètre est 16a/9.

Ici, çà se complique encore, combien y a-t-il de segments et quelle est leur longueur ? Puisque chaque segment de l'étape précédente en donne 4 de longueur 1/3 de la longueur précédente, le périmètre ici est 64a/9.

 
Comment continuer ici, il faut voir comment on passe précisément d'une étape à la suivante :

• D'une étape à la suivante, la longueur d'un segment est divisé par 3
• D'une étape à la suivante, le nombre de segment est multiplié par 4

Ainsi à chaque étape, le périmètre vaut 4/3 du périmètre de l'étape précédente.
 
Avec un tableur
 

 
Dans la case E8, la formule =C8*D8 permet d'obtenir le périmètre à l'étape 1. (C'est inutile pourtant !?). En multipliant le nombre de segments et la longueurs de chaque segment.

 

Dans la case C9, la formule =C8/3 permet de passer de la longueur du segment de l'étape 1 à celle de l'étape 2. (On aurait pu simplement faire le calcul 27/3=9 ?!). En divisant par 3.

Dans la case D9, la formule =D8*4 permet de calculer le nombre de segment en fonction du nombre de segment de l'étape 1. En multipliant par 4.
L'intérêt du tableur réside dans la possibilité d'étendre les formules. En étirant vers le bas une case avec une formule, la formule est reprise et se rapporte à l'étape précédente. On obtient le tableau suivant : 


Cela donne assez simplement les périmètres aux étapes successives.
Assez rapidement, on se rend compte que les arrondis dans les calculs faussent les résultats....(attention aux résultats donnés par un tableur, voir aussi Suite de Fibonacci et tableur ). Cependant, cela nous donne l'idée que le périmètre grandit sans cesse.

 
Au bout d'une infinité d'étapes, 
la courbe de Von Koch a-t-elle un périmètre infini ?

Continuons


On a vu qu'à l'étape n, le périmètre d'une courbe de Von Koch, dont l'étape 1 mesure une unité de longueur, en mesure (4/3)ⁿ.
 
Remarque : Ce périmètre est un nombre rationnel à chaque étape.


En observant les résultats donnés par le tableur, on a pu constater que ce périmètre semble grandir de plus en plus.
 
Le périmètre peut-il être aussi grand que l'on veut pour une étape assez lointaine ?
 
4/3=1,3333.......>1,3
 
Par exemple, peut-il être aussi grand que 2 500 ?
 
(4/3)¹⁸>1,3¹⁸=2 619,995 64>2 500
 
Donc le périmètre de l'étape 18 dépasse 2 500 unités de longueur.
 
On peut remarquer que trois étapes suffisent pour doubler (et même plus) le périmètre. En effet :

1,3³=2,197.

Donc toutes les trois étapes, le périmètre est au moins multiplié par 2.

Donc toutes les 3m étapes, le périmètre est au moins multiplié par 2^m.

 

Soit A un nombre entier. Comme on peut dépasser n'importe quel nombre par une puissance de 2 (à prouver...), on peut donc trouver un exposant m assez grand pour que  2^m soit plus grand que A. Au bout de 3 fois 2^m étapes, on obtient donc un périmètre plus grand que A.

Plus A est grand, plus le nombre d'étape pour que le périmètre le dépasse devra être élevé, mais on est sur de le dépasser au bout d'un moment.

 

Comme le périmètre peut être aussi grand que l'on veut, en prenant une étape assez grande, on dit que le périmètre tends vers l'infini quand le nombre d'étape tend vers l'infini.

 

Pour une étude rigoureuse de ce problème, il faut connaître, la notion de limite de suite et connaître davantage la structure de l'ensemble des nombres rationnels.

 

 

Aire du flocon

Quelle est l'aire d'un flocon de Von Koch ?
 

Aujourd'hui, je vais calculer, pour les premières étapes l'aire d'un flocon de Von Koch.
 
Etape 0.
C'est un triangle équilatéral de côté c. Nous avons vu que son aire est donné par la formule : 

Etape 1.
Au triangle de l'étape 0, est ajouté trois triangles équilatéraux de côté 1/3 de c.
L'aire d'un triangle équilatéral de côté 1/3 c  est

Pour les trois cela donne donc

Il faut ajouter cette aire à celle de l'étape 0, on obtient alors

 

Etape 2.
Dans la figure de l'étape 1, il y a 12 côtés de longueur 1/3 de c (voir plus haut  pour le nombre de côtés et leur longueur à chaque étape). A l'étape 2, on ajoute un triangle équilatéral de longueur 1/3² de c au bord de chacun des 12 côtés. 
L'aire d'un des 12 triangles est : 

L'aire ajoutée à celle de la figure 1 par les 12=3×4 triangles est donc

Ainsi l'aire à l'étape 2 est

 

  Cependant, cette forme n'est pas satisfaisante pour deviner une expression de l'aire à l'étape n.

Périmètre et aire (à l'étape n) 

Je commence par exprimer l'aire et le périmètre d'un flocon à l'étape (n+1) en fonction de l'aire et du périmètre à l'étape n.
 
J'utilise les notations suivantes
 

 
Périmètre à l'étape n
 
De l'étape n à l'étape n+1, le nombre de côté est multiplié par 4, alors que la longueur d'un côté est divisé par 3. Globalement, le périmètre est multiplié par 4/3. Donc

On en déduit puisque l'aire à l'étape 0 est 3c que

Aire à l'étape n
 
Comme à chaque étape, on ajoute sur chaque côté de l'étape précédent un triangle équilatéral de taille un tiers de côté de l'étape précédente, on a

J'exprime le nombre du côté et la longueur d'un côté à l'étape n en fonction de c et de n
 
Ainsi la formule devient

 
D'où

puis

 
Pour n=0,1,2,3, on a en particulier :

 
Plus généralement à l'étape n, on a (en utilisant éventuellement une récurrence pour s'en convaincre)

 

L'élément

 

 
est la somme d'une série géométrique de raison 4/9 (plus d'explications sans doute plus tard sur ce blog).
Heureusement, il existe une formule (voir ici) permettant de calculer de telles sommes (dans la formule q doit être différent de 1, donc pour 9/4 pas de problème) :

 
 
 
 
Ainsi avec m=n-1, et q valant neuf quarts, on a :

 

 
D'où
 

 

Enfin

 

 

 

 

Merci à :

•  G. Guidini (son site) qui m'a signalé une coquille. En effet dans la version précédente de cet article, j'avais oublié un facteur 4/9.
• Tux, Arthur et Mel pour leurs commentaires sur les indices

pour m'avoir signalé les coquilles et motivé pour corriger toutes les formules latex, en espérant qu'il n'y ait plus d'erreur d'indice ou d'oubli.



Par la suite, j'aimerai comprendre quelle est la valeur de l'aire et du périmètre au bout d'une infinité d'étapes (d'ailleurs est-ce que le dessin se "fixe" au bout d'une infinité d'étapes ?)